制限された拡散現象のMSD解析
私が若い頃によく読んで勉強した論文の一つに，
楠見先生，佐甲先生らの論文で1993年ですから，もう30年以上前の論文ですね．
その中に，MSD (Mean Square Displacement)，による解析手法があり，時間と変位の分散値との関係が，
直線 ： シンプルな拡散（一次元の場合，傾きが，２D，となる）
下凸 ： ドリフトのある拡散
上凸 ： 制限のある拡散
となります．
直線：
\( \Large \displaystyle <x^2> = 2Dt \)
下凸：
\( \Large \displaystyle <x^2> = 2Dt + v^2(t) \)
となることは直感的にわかるのですが，問題は，上凸の制限のある拡散，です．
論文では，
\( \Large \displaystyle <x^2 (t)> = \frac{L_x^2}{6} - \frac{16L_x^2}{\pi^4} \sum_{n=1 (odd)}^{\infty} \frac{1}{n^4} exp \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{n \pi \delta_x}{L_x}\right)^2 t \right\} \)
ｔが大きくなってきたときには，
\( \Large \displaystyle <x^2(\infty)> = \frac{L_x^2}{6} \)
二次元の場合には，
\( \Large \displaystyle <x^2(\infty)> + <y^2(\infty)> = \frac{L^2}{3} \)
となることが示されています．
これらの式の導出には，論文最後のAppendixに示されていますが，ここでは，グリーン関数，という関数が使われおり，名前はとても親しみが湧くのですが，何をやっているか全然理解できない関数だったので，30年以上この結果を導き出せない状態でした．
どうも，グリーン関数は，δ関数を使って導き出す手法なのですが．．．．．
結果的に．．．グリーン関数をHPで説明できるほどの実力はまだついていませんが，最終的なサチる値，\( \Large \displaystyle \frac{L^2}{3} \)，の導き出し方がわかりましたので，記します．
実は．．．．．ChatGPT，に教えてもらいました．．．．
・MSD
平均二乗変位の時間依存性，MSD (Mean Square Displacement)，がよく拡散の評価に使われ，二次元の場合には，
\( \Large \displaystyle MSD(t) = \left< (x(t) -x_0)^2 \right> + \left< (y(t) -y_0)^2 \right> \)
となります．初期位置からの変位の二乗，となるわけです．制限されていない場合には，
\( \Large \displaystyle MSD(t) = 4Dt \)
となります．
次ページから，制限のある拡散，を検討していきます．